Ht: Hilbert Transform of a Signal
The Hilbert transform
Mathias Johansson
Master Thesis Mathematics/Applied Mathematics Supervisor: BÄrje Nilsson, VÄxjÄ University. o a o Examiner: BÄrje Nilsson, VÄxjÄ University. o a o
Abstract The information about the Hilbert transform is often scattered in books about signal processing. Their authors frequently use mathematical formulas without explaining them thoroughly to the reader. The purpose of this report is to make a more stringent presentation of the Hilbert transform but still with the signal processing application in mind.
Contents
1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 Mathematical motivations for the Hilbert transform : 2.1 The Cauchy integral : : : : : : : : : : : : : : : 2.2 The Fourier transform : : : : : : : : : : : : : : 2.3 The §¼=2 phaseshift : : : : : : : : : : : : : : : 3 Properties of the Hilbert transform : : : : : : : : : : 3.1 Linearity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.2 Multiple Hilbert transforms and their inverses : 3.3 Derivatives of the Hilbert transform : : : : : : : 3.4 Orthogonality properties : : : : : : : : : : : : : 3.5 Energy aspects of the Hilbert transform : : : : : 3.6 The Hilbert transform of strong analytic signals 3.7 Analytic signals in the time domain : : : : : : : 4 Numerical calculations of the Hilbert transform : : : 4.1 Continuous time : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.1.1 Numerical integration. : : : : : : : : : : 4.1.2 Hermite polynomials : : : : : : : : : : : 4.1.3 Fourier series : : : : : : : : : : : : : : : 4.2 Discrete Fourier transform : : : : : : : : : : : : 5 An application : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A.1 Implementation of the Hermite polynomial : : : A.2 Implementation of the Fourier series : : : : : : : A.3 Implementation of the Fourier transform : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Mathias Johansson
Master Thesis Mathematics/Applied Mathematics Supervisor: BÄrje Nilsson, VÄxjÄ University. o a o Examiner: BÄrje Nilsson, VÄxjÄ University. o a o
Abstract The information about the Hilbert transform is often scattered in books about signal processing. Their authors frequently use mathematical formulas without explaining them thoroughly to the reader. The purpose of this report is to make a more stringent presentation of the Hilbert transform but still with the signal processing application in mind.
Contents
1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 Mathematical motivations for the Hilbert transform : 2.1 The Cauchy integral : : : : : : : : : : : : : : : 2.2 The Fourier transform : : : : : : : : : : : : : : 2.3 The §¼=2 phaseshift : : : : : : : : : : : : : : : 3 Properties of the Hilbert transform : : : : : : : : : : 3.1 Linearity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.2 Multiple Hilbert transforms and their inverses : 3.3 Derivatives of the Hilbert transform : : : : : : : 3.4 Orthogonality properties : : : : : : : : : : : : : 3.5 Energy aspects of the Hilbert transform : : : : : 3.6 The Hilbert transform of strong analytic signals 3.7 Analytic signals in the time domain : : : : : : : 4 Numerical calculations of the Hilbert transform : : : 4.1 Continuous time : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.1.1 Numerical integration. : : : : : : : : : : 4.1.2 Hermite polynomials : : : : : : : : : : : 4.1.3 Fourier series : : : : : : : : : : : : : : : 4.2 Discrete Fourier transform : : : : : : : : : : : : 5 An application : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A.1 Implementation of the Hermite polynomial : : : A.2 Implementation of the Fourier series : : : : : : : A.3 Implementation of the Fourier transform : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
References: [1] Aniansson J. et al, Fouriermetoder, KTH, Stockholm, 1989. [2] Goldberg R. R., Fourier transforms, Cambrige university press, Cambridge. [3] Hahn Stefan L., Hilbert transforms in signal processing, Artech House, Inc., Boston, 1996. [4] Lennart HellstrÄm, LinjÄr analys, HÄgskolan i VÄxjÄ, 1995. o a o a o [5] Henrici Peter, Applied and computational complex analysis, Volume 1, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1988. [6] Proakis John G., Salehi Masoud, Communication systems engineering, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1994. [7] Sa® E. B., Snider A. D., Complex analysis for mathematics, sience and enginering, Prentice-Hall, Inc., New York, 1976. 33