intergation

Homework sin5 xdx = −

(1−u2)2du = −

(u4−2u2+1)du

cos5 x 2 cos3 x
=
+
− cos x + C
5
3
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− u = cosn−1 x, v = cos x, v = sin x u = (n − 1) cosn−2 x(− sin x) cosn xdx = cosn−1 x sin x+(n−1)
= cosn−1 x sin x+(n−1)

cosn−2 x sin2 xdx

cosn−2 x−(n−1)

cosn xdx

because sin2 x = 1 − cos2 x. Then
1
n−1 cosn xdx = cosn−1 x sin x+ cosn−2 xdx n n
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
Apply the above identity for n = 3, we have cos2 x sin x 2 cos xdx =
+
3
3
3

cos xdx

cos2 x sin x 2
+ sin x + C
=
3
3

1

dx
=
cos3 x

du
(1 − u2)2
1
1
1
1
1
+
+
+ du 4
(1 + u)2 (1 − u)2 1 + u 1 − u
1
1
1
−
+ ln |1 + u| − ln |1 − u| + C
4 1−u 1+u
2 sin x
1 + sin x
1
+C
+ ln
4 1 − sin2 x
1 − sin x
1 + sin x sin x
1
+ ln
+C
2 cos2 x 2 cos x

=
=
=
=

3. Find the area of the enclosed regions
a) y = x2 − 6, y = 6 − x3, y − axis
2

[(6 − x3) − (x2 − 6)]dx =
0

b) y = 2 −

√

x, y =

1

(2 −

√

√

52
3

x, x = 0

x−

√

x)dx =

0

2
3

c) y = |x|, y = x2 − 6
3

3
2

(x − x2 + 6)dx = 27

[|x| − (x − 6)]dx = 2
−3

0

2

dx x = ln |x+ x2 − 4|+C, u = √ x2 − 4 x2 − 4
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1 x , u = 2 u=√ (x + 1)3/2 x2 + 1
1
du dx √
= (x2 + 1)du =
1 − u2
1 + x2
0
1
1
1
1
du 1 du 1
+
= ln 1 + √ − ln 1 − √
2 1−u 2 1+u 2
2 2
2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −− dx dx dx dx
=A
+B
+C
x4 − 1 x2 + 1 x+1 x−1
Then 1 = A(x2 − 1) + (Bx − B + Cx + C)(x2 + 1) which implies B = −C = A = − 1 . Therefore
2
4
√

1−x
1
1 dx = ln
− tan−1 x + C x4 − 1 4
1+x
2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
4dx
A
B
C
=
+
+
(x + 2)(x2 − 4) x − 2 x + 2 (x + 2)2
Then 4 = A(x + 2)2 + B(x2 − 4) + C(x − 2) which
1
implies A = −B = − C = 4 . Therefore
4
4dx
1
1 x−2 = ln
+
+C
(x + 2)(x2 − 4) 4 x+2 x+2
3

dx

Lorentz curves For 0 x 1, L(x) is the percentage of total income