Topology exam
Tentamen Topologie, Voorjaar 2014
01.07.2014, 12:30-15:30 (16:30), LIN4+5 (LIN8)
Toelichting:
• Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, tablet, etc.) gebruiken, behalve het dictaat (op papier!) en evtl. woordenboeken Engels/Nederlands.
• Als je stellingen uit het dictaat gebruikt, geef volledige referenties, waarbij je ook duidelijk maakt dat aan de voorwaarden voldaan is. Naar stellingen of huiswerkopgaven in het dictaat mag alleen verwezen worden als die dit semester daadwerkelijk behandeld/opgegeven zijn. • Als een deelopdracht niet lukt mag je het resultaat veronderstellen om de andere delen wel te maken.
• In het totaal zijn 56 punten te bereiken. ≥ 31 punten zijn zeker voldoende.
Opgave 1 (10 = 5 + 5) Zij X, Y topologische ruimtes en f : X → Y een functie. Bewijs dat f gesloten is d.e.s.d.a. de volgende uitspraak geldt:
Voor elke y ∈ Y en elke open U ⊂ X zodat f −1 (y) ⊂ U is er een open V ⊂ Y zodat y ∈ V en f −1 (V ) ⊂ U.
Opgave 2 (12 = 4 + 6 + 2) Herinnering: Een familie F ⊂ P (X) van deelverzamelingen van
X heeft de eindige doorsnede eigenschap als elke doorsnede van eindig veel elementen van F niet leeg is.
(i) Bewijs: Voor een topologische ruimte X zijn de volgende uitspraken equivalent:
(α) X is aftelbaar compact.
(β) F = ∅ voor elke aftelbare familie F van gesloten deelverzamelingen met de eindige doorsnede eigenschap.
(γ) Als {Cn }n∈N een dalende (d.w.z. Cn+1 ⊂ Cn ∀n) rij van niet-lege gesloten deelverzamelingen van X is, dan geldt n Cn = ∅.
(ii) Bewijs de volgende omkeering van de ‘Cantor Intersection Theorem’ (was huiswerk opgave): Als (X, d) metrische ruimte is met de eigenschap dat n Cn = ∅ voor elke rij
{Cn }n∈N van niet-lege gesloten deelverzamelingen die dalend (Cn+1 ⊂ Cn ∀n) is en aan limn→∞ diam(Cn ) = 0 voldoet, dan is (X, d) volledig.
(iii) Concludeer uit (i) en (ii) dat elke aftelbaar compacte metrische ruimte volledig is. (Dit hebben wij op het HC bewezen, maar met een andere
01.07.2014, 12:30-15:30 (16:30), LIN4+5 (LIN8)
Toelichting:
• Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, tablet, etc.) gebruiken, behalve het dictaat (op papier!) en evtl. woordenboeken Engels/Nederlands.
• Als je stellingen uit het dictaat gebruikt, geef volledige referenties, waarbij je ook duidelijk maakt dat aan de voorwaarden voldaan is. Naar stellingen of huiswerkopgaven in het dictaat mag alleen verwezen worden als die dit semester daadwerkelijk behandeld/opgegeven zijn. • Als een deelopdracht niet lukt mag je het resultaat veronderstellen om de andere delen wel te maken.
• In het totaal zijn 56 punten te bereiken. ≥ 31 punten zijn zeker voldoende.
Opgave 1 (10 = 5 + 5) Zij X, Y topologische ruimtes en f : X → Y een functie. Bewijs dat f gesloten is d.e.s.d.a. de volgende uitspraak geldt:
Voor elke y ∈ Y en elke open U ⊂ X zodat f −1 (y) ⊂ U is er een open V ⊂ Y zodat y ∈ V en f −1 (V ) ⊂ U.
Opgave 2 (12 = 4 + 6 + 2) Herinnering: Een familie F ⊂ P (X) van deelverzamelingen van
X heeft de eindige doorsnede eigenschap als elke doorsnede van eindig veel elementen van F niet leeg is.
(i) Bewijs: Voor een topologische ruimte X zijn de volgende uitspraken equivalent:
(α) X is aftelbaar compact.
(β) F = ∅ voor elke aftelbare familie F van gesloten deelverzamelingen met de eindige doorsnede eigenschap.
(γ) Als {Cn }n∈N een dalende (d.w.z. Cn+1 ⊂ Cn ∀n) rij van niet-lege gesloten deelverzamelingen van X is, dan geldt n Cn = ∅.
(ii) Bewijs de volgende omkeering van de ‘Cantor Intersection Theorem’ (was huiswerk opgave): Als (X, d) metrische ruimte is met de eigenschap dat n Cn = ∅ voor elke rij
{Cn }n∈N van niet-lege gesloten deelverzamelingen die dalend (Cn+1 ⊂ Cn ∀n) is en aan limn→∞ diam(Cn ) = 0 voldoet, dan is (X, d) volledig.
(iii) Concludeer uit (i) en (ii) dat elke aftelbaar compacte metrische ruimte volledig is. (Dit hebben wij op het HC bewezen, maar met een andere